级数

级数

定义

级数 指某序列之和 如$a_1,a_2,a_3,a_4,…$的级数$S_n$可以表示为$S_n = a_1+a_2+…+a_n$ 如果级数是有穷项的和则称为有穷级数,反之则称为无穷级数

常见级数

有穷项

这些高中都学过:

• \[\sum_{k=0}^{n-1}{ak+b} = \frac{n(n-1)}{2}a + nb\]
• \[\sum_{k=0}^{n}{aq^{k-1}} = \begin{cases} \frac{a(q^n-1)}{q-1}, &q \neq 1 \\ na, &q = 1 \end{cases}\]
• \[\sum_{k=0}^{n}{k!\cdot k} = (n+1)!-1\]

那么我们知道了这个东西然后就再来电高级货: 幂求和:

• \(\sum_{k=0}^{n}{k^{m}} = \frac{1}{m+1}\sum_{k=0}^{m}\begin{pmatrix} m+1 \\ k\end{pmatrix}B_k \cdot n^{m+1-k}\)

  $B_k$表示伯努利数(Bernoulli) 其中$B_1=-\frac{1}{2}$ 这个括号实际上他就是 $C_n^k$ 证明的话可以参考这个: 伯努利数

这里就不详细说了,实话说这个用到的可能很少,我们又不太需要求n次幂那么多,之后闲的话再详细研究伯努利数吧. 好的, 实际上我们并不用这么复杂 我们先看几个幂求和:

• \[\sum_{i=0}^{n}{i^0} = n\]
• \[\sum_{i=0}^{n}{i^1} = \frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n\]
• \[\sum_{i=0}^{n}{i^2} = \frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n\]
• \[\sum_{i=0}^{n}{i^3} = \frac{1}{4} n^4+\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{4}n^2\]

这里我们发现有个简单的规律: \(\sum_{i=0}^{n}i^m = \sum_{k=0}^{m+1}a_k n^k\)

一般情况下我们需要的可能就几个所以,万能的待定系数法启动!

例:计算 $\sum_{i=0}^{n}{i^3}$

假设: \(\sum_{i=0}^{n}{i^3} = an^4+bn^3+cn^2+dn^1+en^0\) 其中:$ a,b,c,d,e $存在且唯一 那么有:

\[\begin{pmatrix} &1 &1 &1 &1 &1 \\ &16 &8 &4 &2 &1 \\ &81 &27 &9 &3 &1 \\ &256 &64 &16 &4 &1 \\ &625 &125 &25 &5 &1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d\\ e \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 9 \\ 36 \\ 100 \\ 225 \end{pmatrix}\]

解该方程组: 可以得到:$a=\frac{1}{4},b=\frac{1}{2},c=\frac{1}{4},d=0,e=0$

无穷项

泰勒级数

• \[f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}f^{(n)}(x_0) \cdot (x-x_0)^n\]

特别的: 当$x_0 = 0$时候称为麦克劳林级数

下面是几个常用的展开:

• \[\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty}{x^n}, -1<x<1\]
• \[\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n x^n}, -1<x<1\]
• \[e^x = \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{x^n}{n!}}\]
• \[\sin x = \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}}\]

… 其他的自己展开吧